プロジェクト・ヘイルメアリー
科学入門ガイド — 数学編

太陽の質量は約2×10³⁰ kg、電子の質量は約9×10⁻³¹ kg。この2つを同じ数直線上で比較しようとすると途方もない。そこで対数（logarithm）を使う。

log₁₀(x) は「10を何乗したらxになるか」を返す。

• log₁₀(100) = 2 → 10² = 100
• log₁₀(1,000,000) = 6 → 10⁶ = 1,000,000
• log₁₀(0.001) = -3 → 10⁻³ = 0.001

対数を使うと、何十桁もの差がある数を「数桁の差」として扱える。天文学・地震学（マグニチュード）・音響学（デシベル）・化学（pH）はすべて対数スケールだ。

毎日2倍に増えるものが1個あるとする。30日後には何個になるか？

1 → 2 → 4 → 8 → 16 … → 2³⁰ = 1,073,741,824（約10億）

30日で10億個。しかも28日目まではたった2億6千万——「まだ大丈夫」と思った2日後に4倍になる。指数関数の怖さは「終盤の爆発」にある。

一般に、倍増時間 T_d（一定量が2倍になるまでの時間）を使うと：

物語の冒頭、JAXA の観測衛星「アマテラス」が捉えた太陽の明るさの変化はわずか0.01%。しかし専門家たちはこう予測する——9 年後に 1%、20 年後に 5%減少すると。

もし「毎年同じ量ずつ減る」線形の減少なら、9 年で 1% に達するペースは 20 年で約 2.2% にしかならないはず。実際の予測 (5%) はその 2 倍以上。これが指数関数の正体で、後半ほど加速する。

• 観測時点：0.01%（アマテラスが捉えた初期値）
• 9 年後の累積：1%
• 20 年後の累積：5% ← 地球の農業が崩壊し始めるレベル

作中ではストラットがこう指摘する——「太陽光の指数関数的減少は典型的生命体の指数関数的増加と一致しているの」。減り方の形そのものが「生命の増殖」を示唆していたのだ。これがアストロファージの存在を裏付ける推理になる。

「バイバイン」は、かけた食べ物を5分ごとに2倍に増やすひみつ道具。のびたが栗まんじゅうにかけたら食べきれなくなり、最終的にロケットで宇宙へ追放するはめになる——日本で最もポピュラーな「指数関数の暴走」だ。

栗まんじゅう1個（体積 約50 cm³）にかけたら、地球（体積 1.08 × 10²⁷ cm³）が埋め尽くされるまで何分かかるか？

• 必要な個数：1.08 × 10²⁷ ÷ 50 ≈ 2.16 × 10²⁵ 個
• 倍増回数：log₂(2.16 × 10²⁵) ≈ 84 回
• 所要時間：84 × 5分 = 420分（約7時間）

朝に1個かけたら、夕方には地球が栗まんじゅうで埋め尽くされる。「まだ大丈夫」と思っている間に手遅れになるのは、アストロファージが太陽を蝕むしくみとまったく同じ数学だ。倍増時間（T_d）が5分か1日かの違いだけで、本質は上の式 N(t) = N₀ × 2^(t / T_d) と完全に同じ。

惑星の軌道は円ではなく楕円だ（ケプラーの第1法則）。太陽（または恒星）はその楕円の焦点のひとつにある。

宇宙船が惑星の重力圏に「乗る」には、その惑星と同じ速さ・方向に揃わなければならない。速すぎれば通り過ぎ、遅すぎれば落下する。軌道計算とは「いつ・どの方向に・どれだけエンジンを噴射するか」を、惑星の重力と現在の速度から逆算する作業だ。

整数・N 進数：素因数分解、N 進数の変換、ユークリッドの互除法

比例・関数：一次関数、比例と反比例

図形と証明：平行線の性質、三平方の定理

数学I・II：指数関数・対数関数（log）、三角関数

数学II・III：微積分（軌道計算の基礎）、数列・極限

発展：線形代数（ベクトルと行列）、確率・統計

『数学ガール』結城浩 — 物語形式で数学の深みを体験できる

『素数の音楽』マーカス・デュ・ソートイ — リーマン予想と素数の謎を探る